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小學初中同步輔導數學必須掌握的10種圖形求面積法,孩子都會

編輯:李老師     來源:哈利博特教育   時間:2020-06-12

 

三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形,一般稱為基本圖形或規則圖形。面積及周長都有相應的公式直接計算,如下表:

      實際問題中,有些圖形不是以基本圖形的形狀出現,而是由一些基本圖形組合、拼湊成的,它們的面積及周長無法應用公式直接計算.一般我們稱這樣的圖形為不規則圖形。

那么,不規則圖形的面積及周長怎樣去計算呢?我們可以針對這些圖形通過實施割補、剪拼等方法將它們轉化為基本圖形的和、差關系,問題就能解決了。

先看三道例題感受一下

 

 

      例1 :如右圖,甲、乙兩圖形都是正方形,它們的邊長分別是10厘米和12厘米.求陰影部分的面積。

一句話:陰影部分的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個“空白”三角形(△ABG、△BDE、△EFG)的面積之和。

例2 如右圖,正方形ABCD的邊長為6厘米,△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等,求三角形AEF的面積.

一句話:因為△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等,都等于正方形ABCD面積的三分之一,也就是12厘米.

解:

S△ABE=S△ADF=S四邊形AECF=12

在△ABE中,因為AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,

∴△ECF的面積為2×2÷2=2。

所以S△AEF=S四邊形AECF-S△ECF=12-2=10(平方厘米)。

例3 兩塊等腰直角三角形的三角板,直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分(陰影部分)的面積。

一句話:陰影部分面積=S△ABG-S△BEF,S△ABG和S△BEF都是等腰三角形

 

 

總結:

對于不規則圖形面積的計算問題一般將它轉化為若干基本規則圖形的組合,分析整體與部分的和、差關系,問題便得到解決.

 

常用的基本方法有:

 

 

一、相加法

這種方法是將不規則圖形分解轉化成幾個基本規則圖形,分別計算它們的面積,然后相加求出整個圖形的面積.

例如:求下圖整個圖形的面積

一句話:半圓的面積+正方形的面積=總面積

 

二、相減法

這種方法是將所求的不規則圖形的面積看成是若干個基本規則圖形的面積之差.

例如:下圖,求陰影部分的面積。

 

一句話:先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可.

 

三、直接求法

這種方法是根據已知條件,從整體出發直接求出不規則圖形面積.

例如:下圖,求陰影部分的面積。

一句話:通過分析發現陰影部分就是一個底是2、高是4的三角形

 

四、重新組合法

這種方法是將不規則圖形拆開,根據具體情況和計算上的需要,重新組合成一個新的圖形,設法求出這個新圖形面積即可.

例如:下圖,求陰影部分的面積。

一句話:拆開圖形,使陰影部分分布在正方形的4個角處,如下圖。

 

五、輔助線法

這種方法是根據具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線,使不規則圖形轉化成若干個基本規則圖形,然后再采用相加、相減法解決即可

例如:下圖,求兩個正方形中陰影部分的面積。

一句話:此題雖然可以用相減法解決,但不如添加一條輔助線后用直接法作更簡便(如下圖)

根據梯形兩側三角形面積相等原理(蝴蝶定理),可用三角形丁的面積替換丙的面積,組成一個大三角ABE,這樣整個陰影部分面積恰是大正方形面積的一半.

六、割補法

這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規則圖形,從而使問題得到解決.

例如:下圖,若求陰影部分的面積。

一句話:把右邊弓形切割下來補在左邊,這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積的一半.

 

七、平移法

這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置,使之組合成一個新的基本規則圖形,便于求出面積.

例如:下圖,求陰影部分的面積。

一句話:可先沿中間切開把左邊正方形內的陰影部分平行移到右邊正方形內,這樣整個陰影部分恰是一個正方形。

八、旋轉法

這種方法是將圖形中某一部分切割下來之后,使之沿某一點或某一軸旋轉一定角度貼補在另一圖形的一側,從而組合成一個新的基本規則的圖形,便于求出面積.

例如:下圖(1),求陰影部分的面積。

一句話:左半圖形繞B點逆時針方向旋轉180°,使A與C重合,從而構成右圖(2)的樣子,此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.

 

九、對稱添補法

這種方法是作出原圖形的對稱圖形,從而得到一個新的基本規則圖形.原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半.

例如:下圖,求陰影部分的面積。

一句話:沿AB在原圖下方作關于AB為對稱軸的對稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積。

 

十、重疊法

這種方法是將所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分。

例如:下圖,求陰影部分的面積。

一句話:可先求兩個扇形面積的和,減去正方形面積,因為陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分.

 

 


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